متعة البراهين الرياضية (1)

متعة البراهين الرياضية (1)

في الرياضيات, البرهان الرياضي هو حجة رياضية صارمة لا لبس في صحتها, تعد دليلاً لصحة جملة رياضية معينة, والجملة التي يتم اثباتها تسمى نظرية (Theorem). يستند الاثبات الى مجموعة من الحدسيات والبيانات المفترضة تعرف باسم بديهيات أو مسلمات (Axioms) التي اقترحها اقليدس.
البراهين هي أمثلة على التفكير الاستنتاجي والتي تختلف عن المنطق الاستقرائي و الاثبات التجريبي, على البرهان أن يتطرق الى جميع الحالات في الجملة لاثبات صحتها, وتعتبر غير صحيحة بوجود نفي واحد, أما الجمل التي تدل التجربة على صحتها ولم تنفى, ولم يتم اثباتا حتى الآن تسمى حدسية أو تخمين (Conjecture) وهو اقتراح غير مثبت يعتقد صحته مثل حدسية غولدباخ.
البراهين توظف المنطق لكن تتضمن لغة رياضية معينة والتي يمكن القول عنها منطق رسمي صارم, وتستخدم التعابير الرمزية بدلا من التعابيير اللغوية. وتحدد نظرية البرهان (Proof Theory) المعايير التي يتم اتباعها عند الاثبات وتحديد مجموعة من المنطق الرياضي (مجموعة العناصر الرياضية الاساسية والبراهين الرسمية) والتي تعتبر مهمة ايضا في الفلسفة المنطقية, والتي وضع أساسها (ديفيد هيلبرت ) وطورها كل من غونلوب فريغ, جوزيبي بيانو, بيرتراند راسل, وريتشارد ديدكيند.
سعى هيلبرت الى حصر الرياضيات في نظام متناهي ( وهو ما سعى اليه اقليدس في البداية لكن مسلمته الخامسة "مسلمة التوازي parallel postulate " أثارت جدلا و تم نفي الكمالية عن نظام اقليدس للمسلمات) لكن بعض تظرياته الناقصة أظهرت العسر في فعل ذلك, مع هذا فهو من أهم الانجازات الرياضية يعرف باسم "نظام هيلبرت _ Hilbert system".
يعود تاريخ البراهين الى الاغريق حيث استعملو
الصور والتشبيهات لاثبات شيئا ما, ومن المرجح اتصال البرهان الصارم الى علم الهندسة الذي يعد اهم انجازات اليونان القديمة, علماء مثل طاليس وايدوكسس وثياتيتوس وضعو نظريات بدون اثباتها بينما وضه الفيلسوف ارسطو معنى لتعريف الاشياء بالدقة, حتى جاء اقليدس الذي برهن معظم تلك النظريات ووضع منهجية لنظام المسلمات, التي تحوي على عناصر معرفة وعناصر لا يهم تعريفها (undefined term) والمسلمات ثم النظريات وبرهنتها , ويعد مفهوم (undefined term) سابقة رياضية تختلف عن المنظور الفلسفي لأرسطو بحيث تعتبر النقطة اصغر وحدة رسم متناهية الدقة والخط هو مجموعة لا متناهية من النقاط, اعتبر اقليدس أن هناك عناصر ليس من المهم معرفة ما هيتها مثل النقطة والخط كما جاء في كتابه "العناصر الذي يعد لحتى الآن أساساً في علم الهندسة وبوابة لطرق الاثبات المنطقي ومنهجيته, من المهم رياضيا مهم ذلك جيدا لتخيل أبعاد ومستويات وشروط اخرى للتعامل بعيدا عن الماهية الفيزيائية المادية للتعابير.
بينما كانت تلك الاثباتات مختصة بالهندسة طور العرب البرهان الرياضي في العصر الاسلامي الذهبي, خصوصا في القرن التاسع والعاشر مبنياً على الرياضيات الاغريقية والهندية, وكانت أهمها في تطوير الجبر الرياضي والحساب التي لم تعتمد على الهندسة بعد الآن, بل وفرت اثباتات عامة كما تطورت نظرية الاعداد حيث اوجد الهاشمي براهين عامة فيها واستخدم الكارجي مثلثات باسكال و (Binomial theorem ) في بعض اثباتاته, بينما طور الخازن طريقة الاثبات بالتناقض كأول محاولة لاثبات مسلمة التوازي الاقليدية.
وتعامل نظرية البرهان الحديثة البراهين كبنية من المعلومات, ولم يعد هناك زعم بأن المسّلمة صحيحة في كل نظام, مما أتاح للرياضيات بالتطور والخروج عن مسلمة التوازي و ابتكار فروع لا اقليدية جديدة بالرياضيات.